Đối tác
bạt che nắng
slide1Slideslide1slide2Slide3
Những bài toán chứng minh bằng PP phản chứng

Sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán của đề án nghiên cứu giải bài toàn bằng PP phản chứng

Sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán của đề án nghiên cứu giải bài toàn bằng PP phản chứng
Đư ra mốt số ví dụ về sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán đề cập trong đề án nghiên cứu giải bài toàn bằng PP phản chứng

III. Dạng 3: Sự vô lý suy ra từ giả thiết bài toán

 

1. Bài tập 1: Cho x là một số hữu tỷ khác 0, y là một số vô tỷ. Chứng tỏ rằng x+y và x.y là một số vô tỷ.

(Bài 115 trang 19 Sách bài tập 7 tập I)

            1.1 Lời giải:

      Giả sử x + y =z là một số hữu tỷ.

     Ta có: y = z - x. Nhưng hiệu hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ hay z - x = y là một số hữu tỷ. Điều này trái với giả thiết y là một số vô tỷ.

     Vậy x + y là một số vô tỷ.

     Giả sử x.y = z là một số hữu tỷ.

     Ta có: y = z : x .Nhưng thương của một số hữu tỷ và một số hữu tỷ là một số hữu tỷ hay z : x = y là một số hữu tỷ. Điều này trái với giả thiết  y là một số vô tỷ.

     Vậy x.y là một số vô tỷ.

 

2. Bài tập 2: Cho góc nhọn xOy, trên tia Ox lấy hai điểm A và A’. Trên tia Oy lấy một điểm B. Lấy một điểm C bất kỳ thuộc miền trong của góc xOy. Qua A’ kẻ đường song song với AB cắt Oy tại B’. Đường thẳng song song với AC kẻ qua A’ cắt đường thẳng song song với BC kẻ qua B’ tại C’. Chứng minh rằng ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy.

2.1 Phân tích tìm lời giải:

        Từ giả thiết bài toán AA’  và BB’ cắt nhau tại O. Muốn giải quyết bài toán ta cần chỉ ra CC’ đi qua O.

        Để làm được điều này ta giả sử CC’ giao với Ox tại một điểm O’ khác O. Qua quá trình lập luận ta chỉ ra điều vô lý. Nên O’ trùng O, hay AA’, BB’ và CC’ đồng quy tại O.

2.2 Lời giải:

 

 

 
 

 

                                   Góc nhọn xOy,

                                                                    A, A’Î Ox, BÎ Oy,

                                                     GT      C thuộc miền trong góc xOy,

                                                              AB//A’B’(B’Î Oy),AC//A’C’,

                                                                     BC//B’C’.                                             

                                                           

                                                          KL      AA’, BB’, CC’ đồng quy.

           

      Ta có: AB//A’B’

                 AC//B’C’

                 AC//A’C’

     Suy ra: D ABC ~ DA’B’C’

     Vậy ta được:                                                                     (1)                                                                       

           

              

Text Box: (2)           Vì AB//A’B’ nên                                                                                              

 

           Giả sử CC’ giao Ox tại một điểm O’ khác O.

Text Box: (3) 

           Vì AC//A’C’ nên                                                              

                           

Text Box: (4)Text Box: (4)           Từ (1), (2), (3) suy ra:                     

                                               

           Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau cho (4) ta được:

 

       
   

Text Box: (5)

 

                                                             hay

                               

            Suy ra OA’ = O’A’.

            Hai điểm O và O’ nằm cùng phía đối với A’ trên tia Ox.

            Kết hợp với (5) ta suy ra O trùng O’ . Hay CC’ qua O.

            Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.

  1.  Khai thác:
  1. Ta giữ lại giả thiết bài toán và thay đổi cách hỏi:
    • Chứng minh ba điểm O, C, C’ thẳng hàng.

 

 
 

 

 

 

  • Chứng minh tỷ số

 

  1. Ta thay đổi giả thiết để có các bài toán mới:

Bài 1: Cho góc nhọn xOy, trên cạnh Ox lấy hai điểm A và A’. Trên Oy lấy điểm B. Lấy C bất kỳ thuộc miền trong của góc xOy. Qua A’ kẻ A’B’ song song với AB (B’Î Oy), kẻ A’C’ song song với AC (C’Î OC). Chứng minh B’C’ song song với BC.

Bài 2: Cho góc nhọn xOy.Tia Oz  nằm trong góc xOy.Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và A’. Trên Oy lấy hai điểm B và B’. Trên Oz lấy hai điểm C và C’. Gọi H, T, L lần lượt là giao điểm của các cặp cạnh AB và A’B’; AC và A’C’; BC và B’C’. Chứng minh H, T, L thẳng hàng.

  1. Bài học kinh nghiệm:
    1.     Sai lầm của học sinh:

    -  Trong khi chứng minh do học sinh lệ thuộc vào trực quan nên nhiều học sinh xem rằng CC’ đã đi qua O mà chứng minh bài toán dễ dàng.

    -  Từ biểu thức (4) học sinh suy ra ngay O trùng O’.

  1. Chú ý khi giảng dạy

 - Hướng dẫn học sinh vẽ hình và cách xâm nhập vào bài toán để tìm hướng giải quyết.

 - Làm cho học sinh thấy được đâu là giả thiết cho và đâu là yêu cầu cần chứng minh của bài toán.

 - Cần chú ý nhiều hơn tới những sai lầm hay mắc phải của học sinh.Ví dụ cụ thể như từ (4), nhiều học sinh sẽ suy ra ngay O trùng O’, người dạy nên chỉ cho học sinh thấy được: Để chứng minh O trùng O’ ta cần chỉ ra O’A = OA hoặc O’A’ = OA’. Nhận thấy (4) là một tỷ lệ thức nên sử dụng tính chất tỷ lệ thức hoặc dãy tỷ số bằng nhau.

 

3. Bài tập 3: Cho tam giác ABC có góc A>900­. Chứng minh rằng không thể có đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh của góc nhọn vừa là đường phân giác của góc đó.

    3.1 Phân tích tìm lời giải:

 

 
 

 

                                                                                  DABC, góc A>90

                                                             GT                AM = MC ( MÎ AC)

 

                                                                         

   KL                           

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

Muốn chỉ ra              ta có các cách sau:

- Số đo hai góc bằng nhau.                                                                          (1)

- Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ( có thể thông qua góc trung gian ).                                                                                                     (2)

- Giả sử B1 = B2 ta chứng minh điều giả sử là vô lý.                              (3)

   Nhận thấy cách (1) không phù hợp vì ta đang chứng minh cho một tam giác bất kỳ.

   Nếu áp dụng cách giải (2) thì ta cần phải tạo ra một góc mới bằng một trong hai góc trên và nằm trong cùng một tam giác với góc còn lại ( vì hai

góc ta đang xét nằm ở hai tam giác khác nhau ). Với giả thiết đề cho cách làm này phức tạp, đôi khi là bế tắc.

  Yêu cầu của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Tức là giả sử BM vừa là trung tuyến, vừa là phân giác của tam giác ABC và chỉ ra điều vô lý.

    3.2. Lời giải:

 

 

 

Vì D ABC có Â >90  nên BC > AB. Trên BC lấy D sao cho BD = BA.

Giả sử BM là phân giác của góc B.

Xét hai tam giác ABM và DBM có:

                  BM: cạnh chung,

                 

                  BA = DB.

 

Suy ra : DABM = DDBM ( c.g.c).

Suy ra : AM = DM,

Mà AM = MC nên  MD = MC.

 

 

 
 

 

 

 

Vậy D DMC cân tại M, hay                                                            (1)

Mặt khác:                       (vì DABM = DDBM ).                             (2)

Ta có:

                                                                   ( hai góc kề bù )

Kết hợp (1) và (2) ta được                                Điều này vô lý vì ABC là tam giác.

Vậy BM không thể là phân giác của góc B.( điều phải chứng minh ).

    3.3.Khai thác:

   - Giữ nguyên giả thiết bài toán nhưng thay đổi cách hỏi như sau: Chứng minh rằng không thể có một đường phân giác xuất phát từ một đỉnh của góc nhọn vừa là trung tuyến của góc đó.

   - Bài toán trên vẫn áp dụng được với tam giác vuông.

   - Xây dựng một bài toán mới:

    Bài toán:  Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ một đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.

     Lời giải:

 

 
 

 

 

 

    Giả sử tam giác ABC không cân tại A..

    Khôngmất tính tổng quát xem như AC > AB.

    Trên AC lấy D sao cho AB = AD.

    Gọi L là giao điểm của BD và AH

    ( với AH là đường trung tuyến ).

Xét hai tam giác ABL và ALD có:

                  AL: cạnh chung,

                 

                  AB = AD.

Suy ra : DABL = DADL (c.g.c ­)

Suy ra : BL = DL.

Trong DBDC có:

                  BL = DL,

                  BH= HC.

Nên HL là đường trung bình của D BDC.

Suy ra HL // DC hay AH // AC (vô lý).

Vậy tam giác ABC cân tại A.

    3.4. Bài học kin nghiệm:

    3.4.1 Sai lầm của học sinh:

   - Học sinh thường chứng minh như sau:

        DABC vừa có đường trung tuyến là đường phân giác nên DABC cân tại B.                                                                                                                    (1)

         Mặt khác DABC có Â > 900 nên BC > AB.                                (2)

        Từ (1) và (2) ta suy ra điều vô lý.

    *Người dạy cần lưu ý cho học sinh điều (1) được nêu ở trên là một bài toán phải được chứng minh ( trình bày ở trên) không thể suy ngay ra được.

        - Học sinh thường nhầm lẫn và chứng minh như sau:

 

 

 
 

 

 

 

Xét hai tam giác ABM và ACM ta có:

                   AM : cạnh chung,

                 

                   BM = CM.

Suy ra DABM = DACM (c.g.c )

 

 

 

      3.4.2 Chú ý khi giảng dạy:

Trong quá trình giảng dạy người dạy cần phải:

   - Đối với sai lầm thứ nhất, người dạy phải yêu càu học sinh chứng minh điều vừa kết luận để chỉ ra cái sai của học sinh.

   - Đối với sai lầm thứ hai, người dạy vẽ hình và chú ý cho học sinh vị trí các góc và cạnh tương ứng của trường hợp bằng nhau trong tam giác.

 

    4. Một số bài tập khác:

    Bài 1: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng a và  a + b cũng nguyên tố cùng nhau.

    Hướng dẫn:

    Giả sử a và a+b không nguyên tố cùng nhau.

    Như vậy tồn tại số p, q1, q2 thuộc Z thỏa:

                                    a = p.q1                                                                              (1)

                                    a+b = p.q2                                                    (2)

    Từ (2) ta được: b = p.q – a

                                = p.q –p.q­1 (kết hợp (1))

                                = p.( q2 – q1)

                                = p.q                                                                 (3)

    Từ (1) và (3) ta kết luận a và b không nguyên tố cùng nhau. Trài với giả thiết.

    Bài 2: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 102 quyển tập cho 50 em học sinh lớp 6A. Chứng minh rằng ít nhất có một em nhận được nhiếu hơn hai quyển tập.

    Hướng dẫn:

    Giả sử không học sinh nào nhận nhiều hơn hai quyển tập. Như vậy tối đa có một 100 cuốn tập cho 50 học sinh. Trong khi giáo viên cần phân phối 102 cuốn tập. Điều này vô lý.

.

     Bài 3: Cho phân số       tối giản. Chứng minh rằng phân số

cũng tối giản.

    Hướng dẫn: Tham khảo bài 3.

 

    Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.

    Hướng dẫn:

    Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác.

    Không mất tínhư tổng quát, giả sử a £ c, khi đó a2 £ c2.

    Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có b< a+c nên b2 < (a+c)2.

    Do a £ c nên (a + c)2 £  4c2, suy ra b2 £  4c2.

    Từ đó ta có a2 + b2 £ 5c2. Điều này trái với giả thiết.

    Vậy c là cạnh nhỏ nhất của tam giác.

    Bài 5: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, trung tuyến BI, phân giác CK cắt nhau tại ba điểm phân biệt D, E, F. Tam giác DEF có thể là tam giác đều hay không?

    Hướng dẫn:

    Giả sử DEF là tam giác đều.

    Ta có:

  

   

    Suy ra:  BI ^ AC.

    Vậy tam giác ABC đều. Suy ra D, E, F trùng nhau. Điều này trái với giả thiết.

 
 
 
 
Thiết kế website   
 
 
 
 
^ Về đầu trang